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| eulerscheZahl |
Du würfelst einen Punkt im ersten Quadraten des Quadrats CDEF aus meinem Anhang.
Die Fläche des Kreises ist ![[latex]\pi \cdot r^2 = \pi[/latex]](http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pi \cdot r^2 = \pi) . Also hat das Stück im ersten Quadranten eine Fläche von ![[latex]\frac{\pi}{4}[/latex]](http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\pi}{4}) . Die Fläche des Quadrats, in dem deine Zufallszahlen liegen ist 1.
Also trifft jeder Zufallswert mit Wahrscheinlichkeit die Kreisfläche.
Wenn du das Experiment oft genug wiederholst, kannst du diese Wahrscheinlichkeit recht genau bestimmen: ![[latex]\frac{\pi}{4} \approx \frac{\hbox{in Kreis}}{n}[/latex]](http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\pi}{4} \approx \frac{\hbox{in Kreis}}{n}) .
Multipliziere das mit 4 und du hast Pi.
Und je größer du n wählst, desto genauer wird deine Approximation, wobei das recht langsam konvergiert.
eulerscheZahl hat dieses Bild (verkleinerte Version) angehängt:
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| Marius2000 |
Berechnen Sie die Zahl Pi näherungsweise über die Kreisgleichung
Meine Frage:
Die Zahl Pi kann wie folgt näherungsweise im kartesischen Koordiantensystem über die Kreisgleichung x2 + y2 <= r bestimmt werden.
Wir nehmen r = 1. Es werden n zufällige Koordinate (x,y) im Bereich (0,0) und (1,1) erzeugt. Über die Kreisgleichung kann bestimmt werden, wie viele davon sich im Einheitskreis befinden. Die Anzahl Punkte im Einheitskreis oder im Quadrat ist proportional zur Fläche. Das Vierfache des Verhältnis Flache Quadrat zu Fläche Einheitskreis nähert sich deswegen Pi an. Siehe dazu folgende Abbildung:
Viertel des Einheitskreises im ersten Quadrant innerhalb des Einheitsquadrats. Die Zahl Pi ist gleich
dem Vierfachen der Fläche des Viertelkreises.
Programmieren Sie ein Java-Programm, das für ein n die Zahl Pi mit dieser Methode näherungsweise berechnet und auf dem Bildschirm ausgibt. Sie können Zufallszahlen zwischen 0 und 1 mit Math.random() erzeugen.
Das war die Aufgabenstellung. Die Lösung folgt. Könnte mir jemand erklären was mathematisch passiert, warum ich
welchen wert für N wähle z.B was mathematisch genau passiert, ich versteh nicht warum die anzahl der punkte(?) im kreis*4 durch die anzahl der versuche N, Pi ergeben soll 
Meine Ideen:
public static void main(String[] args) {
final int n=100000;
float anzahlImKreis =0;
for(int i=0;i<n; i++){
double x = Math.random();
double y = Math.random();
if(x*x+y*y<=1){
anzahlImKreis++;
}
}
System.out.println(anzahlImKreis*4/n);
}
} |
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