Abgeschlossenheit rekursiv aufzählbarer Sprachen

09.03.2008, 16:16	Auf diesen Beitrag antworten »
donvito	Abgeschlossenheit rekursiv aufzählbarer Sprachen Da bei uns sehr klausurwahrscheinlich, frage ich hier mal nach: über welchen Operationen sind rekursiv aufzählbare Sprachen abgeschlossen? Schnitt Man kann eine TM C aus den TMs A und B konstruieren (A akzeptiert Sprache A, B Sprache B). C funktioniert wie folgt:Auf Eingabe w wird zuerst A aufgerufen, dann B. Wenn beide akzeptieren, akzeptiert auch C. Ansonsten lehnt C ab. Komplement Hier kann man nur sagen weder noch. Das Komplement kann sowohl rekursi sein als auch rekursiv-ko-aufzählbar (=nicht rekursiv aufzählbar). Wie schaut das bei den Operationen Stern und Kontakenation aus? Laut Buch sind sie abgeschlossen, nur, wie beweise ich das richtig?


09.03.2008, 17:36	Auf diesen Beitrag antworten »
Tobias	Hallo, Ja, die ersten beiden Argumente sind richtig. In deiner Liste fehlt vielleicht auch noch "Vereinigung". Aber das ist aich schnell bewiesen: Lasse beide TM parallel laufen (parallel ist wichtig, denn wir haben ja nur semi-Entscheidbarkeit) und akzeptiere, falls eine der beiden TM akzeptiert. Für Konkatenation und Stern konnte ich mir zwar nichts ergoogeln, aber ich denke man kann folgendermaßen argumentieren: Konkatenation: Seien A und B TM, die die Sprachen L(A) und L(B) semi-entscheiden. Sei w ein Wort aus L(A)*L(B). Betrachte für w alle möglichen Zerlegungen $[latex]w = uv, \; 0 \leq \|u\|, \|v\| \leq \|w\|[/latex]$ . Es gibt nur endlich viele Zerlegungen, da w endlich ist. Für alle Zerlegungen prüfe parallel, ob $[latex]u \in L(A) \; \wedge \; v \in L(B)[/latex]$ . Kleensche Hülle (Stern): Da wir das Argument für Konkatenation bereits kennen, können wir hier einfach induktiv vorgehen. Sei A die TM, die L semi-entscheidet. $[latex]w \in L^\ast \iff w = \varepsilon \vee w \in L \vee w \in L^2 \vee \ldots[/latex]$ Prüfe also für i = 0, 1, ... im Diagonalverfahren ob $[latex]w \in L^i[/latex]$ . Benutze dabei für i>1: $[latex]w \in L^i \iff w \in L\cdot L^{i-1}[/latex]$ , was durch Induktion auf Konkatenation zurückzuführen ist. Diagnoalverfahren deshalb, weil ein Test für nicht terminieren könnte. Gehe also so vor: Simuliere einen Schritt für den Test $[latex]w \in L^1[/latex]$ , danach zwei Schritte für die Tests $[latex]w \in L^1, \; w \in L^2[/latex]$ usw.

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »