Welche Sprache erzeugt diese Grammatik

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09.12.2006, 15:46	Auf diesen Beitrag antworten »
lego	Welche Sprache erzeugt diese Grammatik Hallo, habe hier eine Übungsaufgabe, mit der ich nicht ganz klar komme. Welche Sprache wird von der kontextfreien Grammatik S->aXa, S->bXa, X->aXa, x->bXa und x-># (leeres Wort) erzeugt. Ich hab mal ein weng ausprobiert, und denke es musste eine Sprache sein, bei der ein wort am anfang immer entweder beliebig viele a's oder b's hat, dann beliebigviele vom anderen Buchstaben, und das beliebig lange und alternierend hat und am Ende des Wortes, sind so viele a's, wie vorher a's und b's gemeinsam. also wenn ich mit a's Anfange, dann meine ich so L={a^m b^n a^o b^p...b^z a^(m+n+o+p+...+z), alle indizes >=1} und analog, wenn ich mit b's Anfange. aber 1. ist das ganze ein wenig "schwammig" und konfus, 2tens, bin ich mir nicht ganz sicher ob das stimmt, und 3. hätte ich gerne eine schönere Darstellung meiner Sprache als geschlossenen Anusdruck. Könnt ihr mir bitte helfen.


09.12.2006, 16:46	Auf diesen Beitrag antworten »
Tobias	Erstmal das ganze etwas schöner aufgeschrieben: $[latex]S \to bXa \quad \| \quad aXa[/latex]$ $[latex]X \to bXa \quad \| \quad aXa \quad \| \quad \epsilon[/latex]$ Jetzt sehen wir, dass durch jede Produktionsregel entweder zwei Terminale (a, b) oder keins hinzugefügt wird. Dadurch ergibt sich, dass jedes Wort gerade Länge hat. Wir können also schreiben: $[latex]w = w_1w_2 \quad, \quad \|w_1\| = \|w_2\|[/latex]$ Ferner kannst du erkennen, dass rechts vom Nichtterminal immer nur ein "a" hinzugefügt wird. Daraus ergibt sich sofort: $[latex]w_2 = a^n \quad , \quad n \in \mathbb{N}[/latex]$ Links vom Nichtterminal hast du freie Wahl ob du beim Ableiten a oder b nimmst, also: $[latex]w_1 = (a+b)^n \quad , \quad n \in \mathbb{N}[/latex]$ Wir definieren die Sprache nun also korrekt indem wir formalisieren: Ein Wort der Sprache besteht aus zwei Teilwörtern derselben Länge. Das erste Teilwort ist aus $[latex]\{a,b\}^\ast[/latex]$ und das zweite aus $[latex]\{a\}^\ast[/latex]$ . Damit: $[latex]L = \big\{ w_1w_2 \; \| \; w_1 \in \{a,b\}^\ast, \; w_2 \in \{a\}^\ast, \; \|w_1\| = \|w_2\| \big\}[/latex]$ Das Ganze lässt sich natürlich noch per Induktion beweisen. Aber ich denke das ist recht intuitiv klar.
09.12.2006, 17:26	Auf diesen Beitrag antworten »
lego	oh, danke, das hat mir schonmal sehr geholfen, immerhin meinte ich das richtige, wenn ich mir deine lösung nun anschaue wie gehe ich da vor, wenn ich das induktiv beweisen soll, weiss nicht genau, wie der prof. das haben möchte, will dann nicht blöd dastehen, wenn ers bewiesen haben will.
09.12.2006, 21:36	Auf diesen Beitrag antworten »
Asgard	Müsste es nicht eher $[latex]L=\{w_1w_2 \mid w_1\in \{a,b\}^{+}, w_2\in \{a,b\}^{+}, \mid w_1 \mid = \mid w_2 \mid \}[/latex]$ lauten (also + statt *), da eine Epsilon-Produktion erst im zweiten Schritt möglich ist? Um dieses zu beweisen, musst Du zeigen. $[latex]L \subseteq L(G)[/latex]$ wird bei uns meist durch Induktion über die Wortlänge, $[latex]L(G) \subseteq L[/latex]$ durch Induktion über die Anzahl der Ableitungsschritte gezeigt. Wie dies im konkreten Fall aussehen könnte ist mir aber selbst noch schleierhaft.
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10.12.2006, 14:06	Auf diesen Beitrag antworten »
Asgard	Meine Beweisidee wäre Folgende, wobei ich aber auf Induktion verzichten würde. In unserer Übung wurde gesagt, man könne es auch ausformuliert aufschreiben, aber ich weiß nicht, ob das auch wirklich ausreichend ist. Wäre schön, wenn jemand mit Ahnung dazu etwas sagen könnte. $[latex]L \subseteq L(G)[/latex]$ : Sei $[latex]w \in L[/latex]$ . Hier wäre zu zeigen, dass eine Ableitung $[latex]S \Rightarrow ^{} w[/latex]$ existiert, um daraus zu folgern, dass $[latex]w \in L(G)[/latex]$ . $[latex]L(G) \subseteq L[/latex]$ : Sei nun $[latex]w \in L(G)[/latex]$ . Dann gilt $[latex]S \Rightarrow ^{} w[/latex]$ . Hier wäre dann der Wortaufbau zu beschreiben, wie es Tobias in seiner Herleitung der Sprache gemacht hat, um zu zeigen, dass $[latex]w \in L[/latex]$ . Natürlich wäre ein Beweis mittels Induktion schöner, aber ich habe immernoch keine Ahnung, wie dieser auszusehen hätte.
10.12.2006, 15:15	Auf diesen Beitrag antworten »
Tobias	Also Asgard hat natürlich Recht: Es muss $[latex]\{...\}^+[/latex]$ heißen, da die Wortlänge mindestens 2 ist. Ich unterbreite euch mal meinen Vorschlag für den Beweis. $[latex]L \subseteq L(G)[/latex]$ beweist man mit Induktion über die Wortlänge. Anfang: Sei Es gibt nur die beiden Wörter $[latex]aa \in L[/latex]$ und $[latex]ba \in L[/latex]$ . Zu beiden Wörtern existiert eine Ableitung $[latex]S \Rightarrow aXa \Rightarrow a\epsilon a[/latex]$ $[latex]S \Rightarrow bXa \Rightarrow b\epsilon a[/latex]$ Hypothese: Sei $[latex]\|w_1\| = \|w_2\| = n \geq 2[/latex]$ und $[latex]w_1w_2 \in L[/latex]$ dann gibt es eine Ableitung $[latex]S \Rightarrow^\ast w_1Xw_2 \Rightarrow w_1\epsilon w_2[/latex]$ Schluss: Wir müssen nur die Wörter und betrachten. Wir konstruieren die Ableitung, wobei $[latex]\Rightarrow^\ast[/latex]$ die Induktionshypothese benutzt: $[latex]S \Rightarrow^\ast w_1Xw_2 \Rightarrow w_1aXaw_2 \Rightarrow w_1a\epsilon aw_2[/latex]$ $[latex]S \Rightarrow^\ast w_1Xw_2 \Rightarrow w_1bXaw_2 \Rightarrow w_1b\epsilon aw_2[/latex]$ Der umgekehrte Fall $[latex]L(G) \subseteq L[/latex]$ ist eine Induktion über die Anzahl der Ableitungsschritte. Der Anfang ist eine Ableitung mit 2 Schritten. Beide Wörter sind natürlich in L. Nun nehmen wir an, dass alle Wörter, die man aus maximal n Ableitungsschritten konstruieren kann, in L liegen. Alle diese Wörter haben einen Ableitungsstrang $[latex]S \Rightarrow^{(n-1)} w_1Xw_2 \Rightarrow w_1\epsilon w_2[/latex]$ Dabei bedeutet $[latex]\Rightarrow^{(n-1)}[/latex]$ , dass maximal n-1 Ableitungsschritte gemacht wurden. Jetzt machen wir maximal n+1 Ableitungsschritte unter Verwendung der Hypothese: $[latex]S \Rightarrow^{(n-1)} w_1Xw_2 \Rightarrow w_1aXaw_2 \Rightarrow w_1a\epsilon a w_2[/latex]$ $[latex]S \Rightarrow^{(n-1)} w_1Xw_2 \Rightarrow w_1bXaw_2 \Rightarrow w_1b\epsilon a w_2[/latex]$ Wegen $[latex]w_1 \in \{a,b\}^+[/latex]$ sind natürlich auch $[latex]w_1a, w_1b \in \{a,b\}^+[/latex]$ . Wegen $[latex]w_2 \in \{a\}^+[/latex]$ natürlich auch $[latex]aw_2 \in \{a\}^+[/latex]$ . Somit haben wir bewiesen
10.12.2006, 16:57	Auf diesen Beitrag antworten »
lego	oh, das war sehr ausführlich, danke schon mal, muss mal versuchen, das nachzuvollziehen, aber ich hätte mal eine kleine zwischenfrage, was ist der unterschied zwischen {...}^* und {...}^+ ? also * dachte ich, würde heißen, das freie monoid über {...}, aber + hab ich noch nicht gesehen
10.12.2006, 17:18	Auf diesen Beitrag antworten »
Asgard	Es gilt z.B.: $[latex]\{a\}^{}\{a\} = \{a\}^{+}[/latex]$ Mit dem Sternchen beschreibt man die Menge aller Wörter. Im Beispiel gilt also: $[latex]\{a\}^{} = \{\epsilon, a, aa, aaa, aaaa, ....\}[/latex]$ Mit dem Plus wird die Menge aller nichtleeren Wörter beschrieben. Das Epsilon fällt also raus. Bei Deiner Aufgabe kann man sehen, dass aus S nicht das leere Wort gebildet werden kann. Um alle Nichtterminalzeichen zu eleminieren musst Du mindestens zwei Ableitungen ausführen, wobei Du Terminalzeichen erzeugst. Das gebildete Wort kann also nie leer sein. Der Beweis sieht gut aus, vielen Dank. Dürfte für meine Klausurvorbereitung sehr nützlich sein
10.12.2006, 17:54	Auf diesen Beitrag antworten »
Tobias	$[latex]L^\ast[/latex]$ für eine Sprache L ist die "Kleenesche Hülle". Diese ist natürlich ein freies Monoid bezüglich der Konkatenation weil $[latex]\epsilon \in L^\ast[/latex]$ das neutrale Element und L der Erzeuger des Monoids ist. ist die positive Hülle und nicht immer ein Monoid. Insbesondere gilt $[latex]\epsilon \in L^+ \iff \epsilon \in L[/latex]$ Die positive Hülle ist nicht unbedingt die Menge der nichtleeren Wörter. Das gilt nur dann, wenn die Basismenge das leere Wort nicht enthält. Für alle Sprachen L mit $[latex]\epsilon \in L[/latex]$ gilt $[latex]L^+ = L^\ast[/latex]$ .
10.12.2006, 18:35	Auf diesen Beitrag antworten »
Asgard	Entweder verstehe ich Dich falsch, oder in unserer Vorlesung wurde etwas anderes gelehrt. Für $[latex]L \subseteq {\sum}^{}[/latex]$ sei $[latex]L^{} = \bigcup_{n\geq 0} L^{n} = \{w_1 ... w_n \| n\geq 0, w_i \in L~fuer~i=1,...,n \}[/latex]$ der Kleene-Abschluss von L. $[latex]L^{+} = \bigcup_{n\geq 1} L^{n} = \{w_1 ... w_n \| n\geq 1, w_i \in L~fuer~i=1,...,n \} = LL^{}[/latex]$ Folgerung: $[latex]L^{} = L^{+} \cup L^{0} = L^{+} \cup \{\epsilon\}[/latex]$ Laut dieser Definition würde doch $[latex]L^{+}[/latex]$ das leere Wort bei einer Sprache ausschließen?!?

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