Informatiker Board | Druckvorschau: Konvergenz des Bisektionsverfahrens

Geschrieben von Marcell99 am 15.11.2015 um 13:12:

Konvergenz des Bisektionsverfahrens

Meine Frage:
gegeben sei eine stetige Funktion f : [a,b] Elemente R mit f(a)f(b) < 0, die eine eindeutige Nullstelle x* (a, b) besitzt.

Zeigen Sie, dass die k-te Iterierte x(k) des Bisektionsverfahrens der Abschätzung
|x^(k)-x*|< 1/ 2^k *(b-a)

Meine Ideen:
ich weiß was das ist und wie man das an einem Beispiel rechnen kann aber ich weiß nicht wie ich das allgemein beweisen kann

Geschrieben von eulerscheZahl am 15.11.2015 um 13:30:

Das Intervall hat die Länge (b-a). In jedem Schritt wird das Intervall halbiert, bei k Schritten hast du also eine Länge von $[latex]\frac{b-a}{2^k}[/latex]$ . Das ist auch der Abstand von [latex]x_k[/latex]

zu $[latex]x_{k-1}[/latex]$ . Wenn der letzte Punkt keine Nullstelle war, muss die gesuchte Nullstelle also näher an [latex]x_k[/latex]

liegen, so kommt die Ungleichung zu stande.

Geschrieben von Marcell99 am 15.11.2015 um 13:38:

warum denn 2^k

ich hab eine definition das steht ohne ^k

oder liegt das daran das es größer als 1/2^k*(b-a)

Geschrieben von eulerscheZahl am 15.11.2015 um 13:39:

Du schreibst doch selbst etwas von "hoch k".
1/2^k: k mal halbieren des Intervalls.

Geschrieben von Marcell99 am 15.11.2015 um 13:42:

ahso jaa okay das hat mich nur verwirrend
okay gut

und das reicht für den beweis oder soll ich noch ein Beispiel zeigen ??

Geschrieben von eulerscheZahl am 15.11.2015 um 13:44:

Ein Beispiel gehört nicht zum Beweis. Ich würde das so stehen lassen, bin aber auch kein Mathematiker.

Geschrieben von Marcell99 am 15.11.2015 um 13:45:

weil das so wenig ist ich hab mir das etwas komplizierter vorgestellt

Geschrieben von Marcell99 am 15.11.2015 um 13:55:

hier ist diese harmonische reihe was ich vorhin auch erwähnt
kannst du vielleicht was damit anfangen

Wir betrachten die Partialsummen sn der harmonischen Reihe
s n = ( n) sigma ( k= 1) 1/k
k
k=1 und zeigen, dass es Konstanten 0 < c < C gibt mit
c(1 + log2(n)) < sn < C(1 + log2(n)). Gehen Sie dabei wie folgt vor:

a) Zeigen Sie zunächst, dass die Abschätzung für alle n = 2j mit j Elemente N0 gilt.
b) Folgern Sie mit Hilfe von a), dass die Abschätzung auch für alle 2^(j-1) < n < 2^j gilt.

Geschrieben von eulerscheZahl am 15.11.2015 um 14:06:

Da solltest du wohl doch besser im Matheboard vorbeischauen.