Informatiker Board | Druckvorschau: Funktionen sortieren

Geschrieben von Shizmo am 22.05.2016 um 01:34:

Funktionen sortieren

Hallo, wieder mal darf ich Funktionen sortieren a la $[latex]n \in \mathcal{O}(n^2)[/latex]$ , also [latex]n<n^2<2^n<...[/latex]

log ist zur Basis 2 und ln zur Basis e.

Ich hab 16 Stück zur Auswahl großes Grinsen

$[latex]n \ln \log 2^n[/latex]$
$[latex]2^{\log n}[/latex]$
$[latex]n^{1/2}[/latex]$
$[latex]2n \ln n[/latex]$
$[latex]n \ln \ln n[/latex]$
$[latex]\ln n[/latex]$
$[latex]n \ln^2 n[/latex]$
$[latex]n \ln \log n[/latex]$
$[latex]n \ln n^2[/latex]$
$[latex]n^{3/2}[/latex]$
$[latex]2^{n+1}[/latex]$
$[latex]\sqrt{n}+5[/latex]$
$[latex]n\cdot (\sqrt{n}+\ln n)[/latex]$

Okay soweit bin ich schon mal:

(16)
$[latex]\ln n[/latex]$ (7)
$[latex]\sqrt{n} = (n^{1/2} =_{\Theta} \sqrt{n}+5 )[/latex]$ (4,13)
$[latex]n \equiv 2^{\log n}[/latex]$ (2)
$[latex]n \ln \ln n =_{\Theta} n \ln \log n[/latex]$ (6, 9)
$[latex]n \cdot \ln(n) = ( n \ln \log 2^n =_{\Theta} 2n \ln n =_{\Theta} n \ln n^2)[/latex]$ (1,5,10)
$[latex]n \ln^2 n[/latex]$ (8)
$[latex]n^{3/2}[/latex]$ (11)
(3)
$[latex]2^n =_{\Theta} 2^{n+1}[/latex]$ (12,14)

Wenns soweit passt, fehlt nur noch $[latex]n\cdot (\sqrt{n}+\ln n)[/latex]$ . Was mach ich damit?

Wie könnte ich Nr.5 (der sortierten Liste) zeigen, also die Basis ist ja nur eine Konstante, deshalb ist es Theta-äquivalent, aber wie zeige ich das?

Kann man eigentlich sagen, wenn f in KLEIN-o von g ist, es auch automatisch in Groß-O von g ist? Umgekehrt geht natürlich nicht.

LG

Geschrieben von eulerscheZahl am 22.05.2016 um 06:56:

$[latex]\ln(\log(n)) = \ln\left(\frac{\ln(n)}{\ln(2)}\right) = \ln(\ln(n)) - \ln(ln(2)) = \ln(\ln(n)) + 0.3665[/latex]$

$[latex]n\cdot (\sqrt{n}+\ln n)[/latex]$
Was ist größer: $[latex]\sqrt n[/latex]$ oder $[latex]\ln n[/latex]$ ?

Zitat:

Kann man eigentlich sagen, wenn f in KLEIN-o von g ist, es auch automatisch in Groß-O von g ist? Umgekehrt geht natürlich nicht.

Ja.
$[latex]f \in \mathcal{O}(g)[/latex]$ heißt ja, dass f nicht größer als g ist (abgesehen von Konstanten).
Klein-o heißt, dass f im Unendlichen echt kleiner als g ist. Also ist es auch nicht größer als g und erfüllt somit die Bedingung von Groß-O.

Geschrieben von Shizmo am 22.05.2016 um 11:59:

Ah ja okay, das verstehe ich.

$[latex]\sqrt{n}[/latex]$ ist größer als $[latex]\ln n[/latex]$
Also ordne ich es zwischen 6 und 7 ein? Ich tue mir immer etwas schwer mit der Wurzel, aber im Grunde brauch ich mir nur merken, dass sie größer wie log ist und kleiner als linear ist oder?

Kann ich das so begründen, also ich mach jetzt einen Vergleich von
$[latex]n\cdot(\sqrt{n}+\ln n)[/latex]$ und $[latex]n \ln^2 n[/latex]$

Also
$[latex]n\cdot(\sqrt{n}+\ln n) \equiv n \cdot \sqrt{n} + n \cdot \ln(n)[/latex]$ und $[latex]n \ln^2 n \equiv n \cdot \ln(n) \cdot \ln(n)[/latex]$

$[latex]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n \cdot \sqrt{n} + n \cdot \ln(n)}{n \cdot \ln(n) \cdot \ln(n)} \equiv \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n \cdot \sqrt{n} }{n \cdot \ln(n) \cdot \ln(n)} + \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n \cdot \ln(n) }{n \cdot \ln(n) \cdot \ln(n)} \equiv [/latex]$

Hier brauche ich ja eigtl nur den ersten Summanden betrachten, da dieser ja stärker wächst als der zweite (gibts da eine bessere Begründung?), also:

$[latex]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n \cdot \sqrt{n} }{n \cdot \ln(n) \cdot \ln(n)} \equiv \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\sqrt{n} }{\ln(n) \cdot \ln(n)}[/latex]$

und das läuft gegen unendlich, kann man das vllt noch irgendwie deutlicher zeigen, evtl abschätzen oder so??