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Konvergenz des Bisektionsverfahrens

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Marcell99
Eroberer

Dabei seit: 14.11.2015
Beiträge: 53

Konvergenz des Bisektionsverfahrens

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Meine Frage:
gegeben sei eine stetige Funktion f : [a,b] Elemente R mit f(a)f(b) < 0, die eine eindeutige Nullstelle x* (a, b) besitzt.

Zeigen Sie, dass die k-te Iterierte x(k) des Bisektionsverfahrens der Abschätzung
|x^(k)-x*|< 1/ 2^k *(b-a)

Meine Ideen:
ich weiß was das ist und wie man das an einem Beispiel rechnen kann aber ich weiß nicht wie ich das allgemein beweisen kann

Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert, zum letzten Mal von Marcell99: 15.11.2015 13:14.

15.11.2015 13:12

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eulerscheZahl eulerscheZahl ist männlich

Foren Gott

Dabei seit: 04.01.2013
Beiträge: 2.859

Das Intervall hat die Länge (b-a). In jedem Schritt wird das Intervall halbiert, bei k Schritten hast du also eine Länge von $[latex]\frac{b-a}{2^k}[/latex]$ . Das ist auch der Abstand von [latex]x_k[/latex]

zu $[latex]x_{k-1}[/latex]$ . Wenn der letzte Punkt keine Nullstelle war, muss die gesuchte Nullstelle also näher an [latex]x_k[/latex]

liegen, so kommt die Ungleichung zu stande.

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15.11.2015 13:30

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Marcell99
Eroberer

Dabei seit: 14.11.2015
Beiträge: 53

warum denn 2^k

ich hab eine definition das steht ohne ^k

oder liegt das daran das es größer als 1/2^k*(b-a)

15.11.2015 13:38

eulerscheZahl eulerscheZahl ist männlich

Foren Gott

Dabei seit: 04.01.2013
Beiträge: 2.859

Du schreibst doch selbst etwas von "hoch k".
1/2^k: k mal halbieren des Intervalls.

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15.11.2015 13:39

Marcell99
Eroberer

Dabei seit: 14.11.2015
Beiträge: 53

ahso jaa okay das hat mich nur verwirrend
okay gut

und das reicht für den beweis oder soll ich noch ein Beispiel zeigen ??

15.11.2015 13:42

eulerscheZahl eulerscheZahl ist männlich

Foren Gott

Dabei seit: 04.01.2013
Beiträge: 2.859

Ein Beispiel gehört nicht zum Beweis. Ich würde das so stehen lassen, bin aber auch kein Mathematiker.

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15.11.2015 13:44

Marcell99
Eroberer

Dabei seit: 14.11.2015
Beiträge: 53

weil das so wenig ist ich hab mir das etwas komplizierter vorgestellt

15.11.2015 13:45

Marcell99
Eroberer

Dabei seit: 14.11.2015
Beiträge: 53

hier ist diese harmonische reihe was ich vorhin auch erwähnt
kannst du vielleicht was damit anfangen

Wir betrachten die Partialsummen sn der harmonischen Reihe
s n = ( n) sigma ( k= 1) 1/k
k
k=1 und zeigen, dass es Konstanten 0 < c < C gibt mit
c(1 + log2(n)) < sn < C(1 + log2(n)). Gehen Sie dabei wie folgt vor:

a) Zeigen Sie zunächst, dass die Abschätzung für alle n = 2j mit j Elemente N0 gilt.
b) Folgern Sie mit Hilfe von a), dass die Abschätzung auch für alle 2^(j-1) < n < 2^j gilt.

Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert, zum letzten Mal von Marcell99: 15.11.2015 13:57.

15.11.2015 13:55

eulerscheZahl eulerscheZahl ist männlich

Foren Gott

Dabei seit: 04.01.2013
Beiträge: 2.859

Da solltest du wohl doch besser im Matheboard vorbeischauen.

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15.11.2015 14:06

Marcell99
Eroberer

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Beiträge: 53

okay danke mache ich

15.11.2015 14:17

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