knifflige Aufgabe, geht um Mengen und Relationen

Gast

Hallo,
hab da ein Problem bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie:Die Menge der Punkte der ebenen Fläche A=[0,1]x[0,1] € R² hat dieselbe Mächtigkeit wie die Menge der Punkte einer beliebigen Kurve K von (0,0) bis (1,1)

nun zu meiner Frage:Wie kann ich eine bijektionale Abblidung zwischen der Menge der Punkte der Kurve und der Menge der Punkte des Quatrates erzeugen?? Denn nur dann sind die beiden Mengen Gleichmächtig.

bin jetzt so weit:

x=0,x1 x2 x3 x4 ........(Nachkommastellen von x)
y=0,y1 y2 y3 y4......(Nachkommastellen von y)
denn x,y€[0,1]
z ist jetzt meine Kurve die aus Elementen der Relation besteht.

z= x1y1 x2y2 x3y3 ......

hat jemand eine Idee wie ich jetzt eine bijektive Abblidung von x und y auf z erzeugen kann?

oder wie kann ich beweisen dass die Menge der Punkte der Fläche die selbe Mächtigkeit hat wie die Menge der Punkte einer Kurve von (0,0) bis (1,1)??

danke fürs reinschauen!

Erik · Anmeldungsdatum: 13.07.2005 Beiträge: 2

Hallo,

also eigentlich hast du die Antwort schon selbst geschrieben. Seien die Nachkommastellen von x, y die x[i] und y[i]. Dann kannst du jedem Punkt (x; y) eine reelle Zahl z zuordnen, z.B. z = 0, x[1] y[1] x[2] y[2] x[3] y[3] usw. Umgekehrt kannst du aus jedem z wieder x und y gewinnen. Es gibt also eine bijektive Abbildung zwischen den Punkten der Fläche und der Zahl z € [0; 1].
Und da ein Graph ein Objekt der Dimension eins ist gibt es eine bijektive Abbildung zwischen z und dem Graphen. Beispielsweise könnte man die Länge des Graphen nutzen: Sei L die Länge des Graphen von (0;0) bis (1;1). Dann gibt es zu jedem z genau einen Punkt des Graphen, von dem aus die Graphenlänge bis zum Ursprung genau z/L ist.

Cu, Erik

Tobias · Anmeldungsdatum: 15.02.2005 Beiträge: 149

Mir wird überhaupt nicht klar, was ihr da macht.

Erik · Anmeldungsdatum: 13.07.2005 Beiträge: 2

Hallo,

mein Post bestand aus 2 Teilen. Der erste ist (0, 1)^2 <-> (0, 1) und der zweite (0, 1) <-> G wobei G die Menge der Punkte des Graphen ist.

Cu, Erik

666 · Gast

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