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Aufgabe zu Abschlusseigenschaften
Aufgabe:
Die Operation
![[latex]min: \mathbb P\left(\Sigma^{\star}\right) \to \mathbb P\left(\Sigma^{\star}\right)[/latex]](http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?min: \mathbb P\left(\Sigma^{\star}\right) \to \mathbb P\left(\Sigma^{\star}\right))
sei definiert durch
![[latex]min(L)=\{ w \in L | \forall u,v \in \Sigma^{\star} \text{ mit } w=uv, 1 \leq |u|, |v| \geq 1: u \notin L \}[/latex]](http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?min(L)=\{ w \in L | \forall u,v \in \Sigma^{\star} \text{ mit } w=uv, 1 \leq |u|, |v| \geq 1: u \notin L \})
min beinhaltet also alle diejenigen Wörter aus L, deren echten Präfixe nicht in L liegen. Sei nun L eine reguläre Sprache, ist dann auch min(L) regulär?
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Ich komm mit der Aufgabe nicht zurecht. Könnt ihr mir etwas weiterhelfen? Ich hab übrigens den Hopcroft als Lehrbuch. In diesem steht, dass gilt: Wenn L eine reguläre Sprache über dem Alphabt ![[latex]\Sigma[/latex]](http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma) ist, dann ist ![[latex]\overline{L} = \Sigma^{\star} - L[/latex]](http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\overline{L} = \Sigma^{\star} - L) auch eine reguläre Sprache.
Kann mir das da weiterhelfen? Gegeben ist ja nur die Sprache min(L). Wie ist dann eigentlich die Sprachdefinition für L alleine? Lautet die so: ![[latex]L=\{ w \in L | \forall u,v \in \Sigma^{\star} \text{ mit } w=uv, 1 \leq |u|, |v| \geq 1\}[/latex]](http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L=\{ w \in L | \forall u,v \in \Sigma^{\star} \text{ mit } w=uv, 1 \leq |u|, |v| \geq 1\}) ? Also eigentlich genauso wie min(L), nur, dass ![[latex]u \notin L[/latex]](http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u \notin L) fehlt; also, dass das echte Präfix mit enthalten ist.
Stimmt das alles soweit? |
