Positive Hülle

04.11.2013, 18:10	Auf diesen Beitrag antworten »
MauroG	Positive Hülle Hallo zusammen, ich hoffe es ist jemand da und kann mir bei folgenden Aufgaben helfen: Sei $[latex]L \subseteq \Sigma^{\star} [/latex]$ eine beliebige Sprache. Es sei ferner $[latex]$ L^{+}:=\{x_1x_2...x_k\|k \ge 1,x_i \in L\} $[/latex]$ . Aufgabe 1: Für welche Sprache ist $[latex]$ L^{+} $[/latex]$ leer? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 2: Für welche Sprache ist $[latex]$ L^{+} $[/latex]$ endlich? Geben Sie jeweils und $[latex]$ L^{+} $[/latex]$ an und begründen Sie Ihre Antwort. Mein bisheriger Lösungsansatz: Aufgabe 1: Für $[latex]L:=\{\varepsilon\}[/latex]$ ist leer, da das $[latex]\varepsilon[/latex]$ nicht zu dazugehört ist leer und endlich. Aufgabe 2: Für folgende Sprachen ist endlich: $[latex]L:=\emptyset[/latex]$ und $[latex]L:=\{\varepsilon\}[/latex]$ Da bei diesen Sprachen keine Wörter gebildet werden können, sieht so aus: $[latex]L^+:=\emptyset[/latex]$ Im Falle $[latex]L:=\{\varepsilon\}[/latex]$ gilt $[latex]L^+:=\emptyset[/latex]$ , da gilt $[latex]k \ge 1[/latex]$ wobei $[latex] w \in \Sigma^*[/latex]$ gilt und . Im Falle $[latex]L:=\emptyset[/latex]$ ist auch $[latex]L^+:=\emptyset[/latex]$ , da man mit einer leeren Sprache keine Wörter bilden kann. Ist das soweit richtig bzw. ist auch die Erklärung plausibel? Vielen Dank im voraus und viele Grüße


05.11.2013, 10:29	Auf diesen Beitrag antworten »
Karlito	Hallo MauroG, du begehst einen großen Fehler: Das leere Wort ist ein Wort! D.h. für $[latex]L = \{\epsilon\}[/latex]$ exisitert ein Wort $[latex]x = \epsilon[/latex]$ und somit besteht die Sprache aus allen möglichen Konkatenationen von $[latex]\epsilon[/latex]$ mit sich selbst. Also $[latex]L^+ = \{\epsilon\}[/latex]$ Die Verwirrung stammt vielleicht aus einer Definition von $[latex]\Sigma^+[/latex]$ , da $[latex]\Sigma^+ := \Sigma^* \setminus \{ \epsilon \}[/latex]$ . Diese Definition kann man jedoch nur so schreiben, weil $[latex]\Sigma^+ := \bigcup^{\infty}_{i=1}\Sigma^i = \left( \bigcup^{\infty}_{i=0}\Sigma^i \right) \setminus \Sigma^0 [/latex]$ und $[latex]\Sigma^0[/latex]$ ist die einzige möglichkeit wie das leere Wort entstehen kann. Bei kann jedoch das leere Wort bereits enthalten sein und kann nicht als $[latex]L^+ := L^* \setminus {\epsilon}[/latex]$ dargestellt werden. Gruß, Karlito

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