Informatiker Board | Druckvorschau: formale sprachen

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Geschrieben von g0ju am 22.05.2008 um 19:47:

formale sprachen

Hallo,

ich habe hier eine aufgabe, in der es um formale sprachen geht und in der ich einen "beweis" erbringen soll.
folgender wortlaut:

zeigen sie, dass für alle beliebigen sprachen $[latex]L_1, L_2 \subseteq A^*[/latex]$ gilt:
$[latex](L_1 \circ L_2)^R = L_2^R \circ L_1^R[/latex]$

so, nun meine "lösung". ich bin mir im klaren, dass das mathematisch bestimmt alles andere als richtig und schön ist. es geht mir eigentlich nur darum, zu wissen, ob ich auf dem richtigen weg bin oder ob ich total falsch liege.

erster schritt:
$[latex](L_1 \circ L_2)^R = \{(w \circ v)^R | w \in L_1, v \in L_2\} = \{(w_1 \dots w_n v_1 \dots v_n)^R | w_{1 \dots n} \in w, v_{1 \dots n} \in v\} => \{v_n \dots v_1 w_n \dots w_1\}[/latex]$

zweiter schritt:
$[latex]L_2^R \circ L_1^R = \{v^R \circ w^R | v \in L_2, w \in L_1\} = \{(v_1 \dots v_n)^R \circ (w_1 \dots w_n)^R | v_{1 \dots n} \in v, w_{1 \dots n} \in w \} => \{v_n \dots v_1 w_n \dots w_1\}[/latex]$

so, nun steht ja da als ergebnis dasselbe.
reicht das aus und ist das alles so richtig?

danke erstmal fürs reinschauen! smile

Geschrieben von Tobias am 23.05.2008 um 10:40:

Die Idee ist richtig. Aber formal, wie du schon sagtest, nicht. Bei solchen einfachen beweisen kommt es aber gerade darauf an, den Beweis formal richtig aufzuschreiben.

Geschrieben von g0ju am 23.05.2008 um 11:40:

kannst du mir vielleicht zeigen, wie ich es richtig aufschreibe bzw. kennst du eine seite im internet, auf der erklärt wird, wie man an solche beweise herangeht?
ich muss ehrlich sagen, dass ich bis zu dieser aufgabe noch nie irgendwo irgendwas beweisen musste.

Geschrieben von Tobias am 23.05.2008 um 15:59:

Ganz allgemein: Du sollst hier eine Mengengleichheit zeigen. Mengengleichheiten zeigt man in fast allen Fällen, in dem man beide Inklusionen beweist. D.h. für die Mengen M und N gilt:

$[latex]M = N \iff M \subseteq N \text{ und } N \subseteq M[/latex]$
Eine Inklusionsbeziehung $[latex]M \subseteq N[/latex]$ zeigt man, in dem man beweist: $[latex]x \in M \Rightarrow x \in N[/latex]$ . Analog zeigt man $[latex]N \subseteq M[/latex]$ durch $[latex]x \in N \Rightarrow x \in M[/latex]$ . Kann man eine Argumentationskette finden, die nicht nur Folgerungen sondern Äquivalenzen benutzt, also $[latex]x \in N \iff x \in M[/latex]$ , so hat man [latex]M = N[/latex]

in einem Schritt erledigt. Und genau das tun wir in deinem Fall:

Zu zeigen: $[latex](L_1 \circ L_2)^R = L_2^R \circ L_1^R[/latex]$

Es sei $[latex]x \in (L_1 \circ L_2)^R[/latex]$
$[latex]\iff \text{ es gibt } v=v_1\ldots v_s \in L_1, w=w_1\ldots w_k \in L_2[/latex]$ mit [latex]x = (vw)^R[/latex]

$[latex]\iff \text{ es gibt } u \in L_2, q \in L_1[/latex]$ mit $[latex]x = u^Rq^R \quad (\ast) [/latex]$
$[latex]\iff x \in L_2^R \circ L_1^R[/latex]$

Die Stelle (*) bedarf natürlich einer weitere Ausführung:

$[latex]x = (vw)^R = (v_1\ldots v_s w_1 \ldots w_k)^R = w_k \ldots w_1 v_s \ldots v_1 = w^R v^R[/latex]$ , setze also [latex]u:=w, q:=v[/latex]