Aufgabe: Überabzählbarkeit (Menge/Obermenge) |
cyberjohn
Grünschnabel
Dabei seit: 25.11.2012
Beiträge: 9
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25.11.2012 13:50 |
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Karlito
Kaiser
Dabei seit: 11.04.2011
Beiträge: 1.461
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Hallo,
das sieht nach einem Widerspruchsbeweis aus. Angenommen, die Obermenge wäre Abzählbar, welche Konsequenz ergäbe sich daraus?
VG,
Karlito
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25.11.2012 22:54 |
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cyberjohn
Grünschnabel
Dabei seit: 25.11.2012
Beiträge: 9
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Hallo Karlito,
Beim indirekten Beweis (Widerspruchsbeweis) wird eine Aussage (A -> B) dadurch bewie-
sen, dass man zeigt: "Aus B folgt A , also ein Widerspruch zu A".
Beispiel: Beweisen Sie das Schubfachprinzip für neN:
Hat man n+1 Objekte in n Schubfächer verteilt, so gibt es mindestens ein Schubfach,
in dem zwei (oder mehr) Objekte liegen.
Lösung: Der Satz hat die Form "A -> B" mit:
A: n+1 Objekte sind in n Schubfächer verteilt.
B: Es gibt mindestens ein Schubfach mit 2 (oder mehr) Objekten.
Angenommen, es gälte B : Jedes Schubfach enthält höchstens 1 Objekt. Dann wären in al-
len Schubladen zusammen n mal höchstens 1 Objekt, also höchstens n Objekte. Dies ist ein
Widerspruch zu A, dass n+1 Objekte in den Schubfächern liegen. Also gilt nicht B -> nicht A ,ist (A -> B) richtig. .
Wenn die Obermenge abzählbar wäre, dann wären die Mengen ebenso abzählbar.
Ist das richtig?
Mit freundlichen Grüßen,
cyberjohn
Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert, zum letzten Mal von cyberjohn: 27.11.2012 14:54.
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27.11.2012 14:53 |
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Karlito
Kaiser
Dabei seit: 11.04.2011
Beiträge: 1.461
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Zitat: |
Original von cyberjohn
Wenn die Obermenge abzählbar wäre, dann wären die Mengen ebenso abzählbar.
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Ja.
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27.11.2012 16:31 |
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cyberjohn
Grünschnabel
Dabei seit: 25.11.2012
Beiträge: 9
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Dennoch würde der Widerspruchsbeweis für diese Aufgabe nicht ausreichen... D,h. die Aufgabe ist nicht ganz erfüllt. Wie kann man nun beweisen, dass jede Obermenge einer überabzählbaren Menge überabzählbar ist?
Mein Vorschlag:
Die Menge aller Abbildungen f: X*->X* ist überabzählbar und kann nicht durch einen Algorithmus berechnet werden.
Mit freundlichen Grüßen,
cyberjohn
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27.11.2012 18:21 |
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Karlito
Kaiser
Dabei seit: 11.04.2011
Beiträge: 1.461
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Hallo,
du hattest doch schon alles.
Sei eine Menge überabzählbar und eine Menge eine Obermenge von . Dann folgt, dass .
Sei abzählbar, dann folgt aus den Eigenschaften von abzählbaren Mengen, dass jede Teilmenge von abzählbar ist.
Wenn , dann ergibt sich ein Widerspruch.
Was fehlt dir da noch?
VG,
Karlito
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27.11.2012 19:09 |
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cyberjohn
Grünschnabel
Dabei seit: 25.11.2012
Beiträge: 9
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Stimmt Du hast Recht! Ich habe zu kompliziert nachgedacht, die Lösung ist ja viel einfacher...
Jedenfalls möchte ich mich für Deine Unterstützung bedanken! Dadurch konnte ich mein Verständnis verbessern.
Mit freundlichen Grüßen,
cyberjohn
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27.11.2012 19:37 |
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